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数学II｜式と証明
この単元で使う公式・定理の一覧です。
この分野の問題を出題する
🌍
社会でどう使われているか
電子商取引における暗号資産の安全性検証や、データの効率的な送受信のための多項式演算
建築や製品設計において、材料の無駄を最小限にするための最大値・最小値問題の最適化
🎓
大学ではどの分野で用いるか
理学部 数学科：代数学
工学部 情報工学科：情報理論
三次式の因数分解の公式：
a
3
+
b
3
=
(
a
+
b
)
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
a
3
+
b
3
=
(
a
+
b
)
(
a
、
三次式の展開の公式：
(
a
+
b
)
3
=
a
3
+
3
a
2
b
+
3
a
b
2
+
b
3
(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
(
a
+
b
)
3
=
a
3
+
3
a
、
二項定理：
(
a
+
b
)
n
=
∑
k
=
0
n
n
C
k
a
n
−
k
b
k
=
n
C
0
a
n
+
n
C
1
a
n
−
1
b
+
⋯
+
n
C
n
b
n
\displaystyle (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \,_{n}C_{k} a^{n-k} b^k = \,_{n}C_{0}a^n + \,_{n}C_{1}a^{n-1}b + \dots + \,_{n}C_{n}b^n
(
a
+
b
)
n
=
多項式の割り算の商と余りの関係：
A
=
B
Q
+
R
A = BQ + R
A
=
B
Q
+
R
（ただし
R
R
R
の次数は
B
B
B
の次数より低いか
R
=
0
R=0
R
=
0
）
余りの定理：整式
P
(
x
)
P(x)
P
(
x
)
を
x
−
a
x-a
x
−
a
で割ったときの余りは
P
(
a
)
P(a)
P
(
a
)
因数定理：整式
P
(
x
)
P(x)
P
(
x
)
について、
P
(
a
)
=
0
P(a)=0
P
(
a
)
=
0
⟺
\iff
⟺
P
(
x
)
P(x)
P
(
x
)
は
を因数に持つ
恒等式が成り立つための条件：すべての
x
x
x
について
A
=
B
A = B
A
=
B
が成り立つとき、両辺の各次数の係数がすべて等しい（係数比較法）、または適当な数値を代入しても成り立つ（数値代入法）
分数の性質（比例式）：
a
b
=
c
d
=
k
\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k
b
a
=
d
c
=
とおいて
とする置き換え
不等式の証明の基本性質：
A
>
B
⇒
A
−
B
>
0
A > B \rArr A - B > 0
A
>
B
⇒
A
−
B
>
0
、実数の平方の性質より
A
2
≧
0
A^2 \geqq 0
A
2
≧
相加平均と相乗平均の関係：
a
>
0
,
b
>
0
a>0, b>0
a
>
0
,
b
>
0
のとき，
a
+
b
≧
2
a
b
a+b \geqq 2\sqrt{ab}
a
+
b
≧
2
ab
（等号成立は
）
コーシー・シュワルツの不等式：
(
a
2
+
b
2
)
(
x
2
+
y
2
)
≧
(
a
x
+
b
y
)
2
(a^2+b^2)(x^2+y^2) \geqq (ax+by)^2
(
a
2
+
b
2
)
(
x
2
+
（等号成立は
）
この一覧はAIが自動生成したものです。内容の正確性は保証されないため、誤りに気づいたら教科書と照らし合わせてください。
2
−
ab
+
b
2
)
a
3
−
b
3
=
(
a
−
b
)
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
a
3
−
b
3
=
(
a
−
b
)
(
a
2
+
ab
+
b
2
)
2
b
+
3
a
b
2
+
b
3
(
a
−
b
)
3
=
a
3
−
3
a
2
b
+
3
a
b
2
−
b
3
(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3
(
a
−
b
)
3
=
a
3
−
3
a
2
b
+
3
a
b
2
−
b
3
k
=
0
∑
n
n
C
k
a
n
−
k
b
k
=
n
C
0
a
n
+
n
C
1
a
n
−
1
b
+
⋯
+
n
C
n
b
n
x
−
a
x-a
x
−
a
k
a
=
b
k
,
c
=
d
k
a=bk, c=dk
a
=
bk
,
c
=
d
k
0
a
=
b
a=b
a
=
b
y
2
)
≧
(
a
x
+
b
y
)
2
a
y
=
b
x
ay=bx
a
y
=
b
x